Ecuaciones de segundo grado

Aprendizaje esperado: resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

Énfasis: fortalecer la resolución de ecuaciones de segundo grado.

¿Qué vamos a aprender?

R esolver ás problemas aplicando las ecuaciones de segundo grado en situaciones reales.

Necesitarás tu c uaderno de apuntes, lápiz y goma.

¿Qué hacemos?

Inicia resolviendo algunos problemas en donde apliques procesos de solución de las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

https://youtu.be/m1o2XkM5R7g

Analiza la primera pregunta:

Se trata de calcular los lados de un rectángulo del que ya se conoces su área, 104m^2, y existe una relación entre el ancho y el largo: uno es mayor que el otro por 5 unidades.

Es decir, el área que es igual al ancho por el largo es igual a 104m^2.

Sea “x” el ancho y “x+5”, el largo. Entonces, el área es igual a “x(x+5)”, que es igual a 104.

Esta es la ecuación algebraica que representa la situación.

La segunda pregunta dice:

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero igualas a cero la ecuación.

En este caso, significa restar en ambos lados de la igualdad 104.

Y queda: x^2+5x-104 es igual a 104-104

Queda: x^2 +5x-104 es igual a 0

Esta ecuación se resuelve buscando el término común a dos binomios, que es “x”, y para formar los dos binomios se deben encontrar dos números que multiplicados den “-104”, y que sumados den 5.

Los números que multiplicados dan 104 son 2 y 52, 4 y 26, 8 y 13.

De éstos, se tiene que 52-2 es igual a 50, 26-4 es igual a 22 y 13 – 8 es igual a 5.

Ya t ienes los dos números de los binomios: 13 y (-8), que multiplicados dan “-104”.

Así: 𝑥 ^2+5 𝑥 −104=( 𝑥 + 13)( 𝑥 −8)

De los dos binomios, se tiene que:

( 𝑥 + 13)( 𝑥 −8) es igual a 0

Esto implica que alguno de los binomios o los dos son iguales a cero.

Si x+13 es igual a 0, entonces “x” es igual a -13.

Si x-8 es igual a 0, entonces “x” es igual a 8.

Y t ienes dos soluciones para “x”: -13 y 8.

Respond e la tercera pregunta: ¿cuánto debe medir el ancho y largo del corral?

Ya t ienes que de ( 𝑥 +13) ( 𝑥 − 8) = 0, hay dos soluciones y eliges la positiva, que es 8.

Se designó a “x” como el ancho, entonces, de ancho tiene 8 metros. El largo es “x+5”, así que 8+5 es igual a 13.

Las medidas son 8 m de ancho, 13 m de largo.

Has podido ayudar a Janet a resolver su problema.

Situación 2

H as encontrado la situación del poema como una ecuación.

La segunda pregunta dice:

Se tiene que:

8( 𝑥 − 1)( 𝑥 +1) = 𝑥 −8

Ahora, ( 𝑥 − 1)( 𝑥 +1) s on binomios conjugados, lo que lleva a una diferencia de cuadrados.

Así, ( 𝑥 − 1)( 𝑥 +1) es igual a x^2-1^2, lo que hace que la ecuación w3q

8( 𝑥 ^2−1^2) es igual a 𝑥 −8

8( 𝑥 ^2−1) es igual a 𝑥 −8

Y 𝑥 ^2−8 es igual a 𝑥 −8

Se resta 8 de ambo s lados de la igualdad y queda: 8 𝑥 ^2 es igual a 𝑥

Ahora se divide entre x ambos lados del signo igual, (8 𝑥 ^ 2)/ 𝑥 es igual a 𝑥 / 𝑥 . Como x^2 es igual a “x por x”, 8 𝑥𝑥 / 𝑥 es igual a 𝑥 / 𝑥 , y una cantidad dividida entre sí misma es igual a uno, en este caso x/x es igual a uno.

Así: 8 𝑥 (uno) es igual a uno. Se divide entre 8 ambos lados de la igualdad. Queda:

8 𝑥 /8 es igual a 1/8

Por lo tanto, x es igual a 1/8.

Ya se tiene el valor de “x”.

La tercera pregunta dice:

Comprueba que es 1/8.

En las dos ecuaciones que obtuvi ste del poema, se sustituirá el valor encontrado, 1/8.

En 8( 𝑥 − 1)( 𝑥 +1) y en x-8 se sustituirá “x” por 1/8.

Al sustituir 1/8 en 8( 𝑥 − 1)( 𝑥 +1), se tiene: (1/8− 1)( 1/8+1) es igual a 8(1/8−8/ 8)( 1/8+8/8)

Esto es igual a:

8 por (1− 8)/ 8)( 1+ 8)/ 8) es igual a = 8 por (− 7)/ 8)( 9/8), que es igual a 8 por( − 7)( 9 ))/ (8)(8)

Al multiplicar (- 7)( 9) es igual a -63, y se multiplica una vez por 8 y se divide dos veces entre 8, así que es igual a -63/8.

Al sustituir 1/8 en x-8, se tiene que 1/8−64/8, ya que 64/8 es igual a 8.

1/8−64/8 es igual a (1- 64)/ 8, es igual a -63/8

Por las dos expresiones generadas por el poema, se ha visto que “x” es igual a 1/8.

Situación 3

Como tercera situación, una alumna expone su problema, observa en qué le p uedes ayudar.

La primera pregunta es:

Es un problema de área de un cuadrado en el que se conoce el área resultante: 484 metros cuadrados, y la medida del lado, (x+5).

El área del cuadrado es (x+ 5)^ 2, es igual a 484.

Desarrollando el cuadrado queda:

𝑥 ^2+10 𝑥 +25=484

Esta expresión algebraica representa al problema.

La segunda pregunta dice:

Para contestar esta pregunta, debes conocer el valor de “x”. Para esto, se ocupará la ecuación:

( 𝑥 + 5)^ 2 es igual a 484

Para despejar “x”, hay que obtener la raíz cuadrada de cada lado de la igualdad.

La raíz cuadrada de (x+ 5)^ 2 es igual a x+5; la raíz cuadrada de 484 es 22.

Queda:

x+5 es igual a 22

Se resta 5 a cada lado de signo igual.

X+5-5 es igual a 22-5

Así, x es igual a 17

Ahora que ti ene s el valor de “x”, se puede obtener el área original, que es “x” al cuadrado, que es 17 al cuadrado, que es igual a 289 metros cuadrados.

La tercera pegunta es:

Ya se obtuvo el valor cuando se calculó la raíz cuadrada de 484. Resultado: 22 metros por lado.

Otra forma es ocupando el valor encontrado original, “x”, al que se le agregan 5 metros por lado, y queda igual la cantidad de 22 metros por lado.

Situación 4

La primera pregunta es:

Es un terreno cuadrado, donde se conoce el área total.

El lado “x” al cuadrado es igual a 1 225.

Entonces, la ecuación cuadrática que responde a esta pregunta es:

x^2 es igual a 1 225

La segunda pregunta dice:

Si se tiene que x^2 es igual a 1 225, entonces se aplica la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

Queda: raíz cuadrada de x^2 es igual a la raíz cuadrada de 1 225.

Así, x es igual a 35.

La tercera pregunta es:

Si se tienen 35 metros por lado y se debe sembrar cada planta de maíz cada 2 metros, entonces, por lado, se siembra 35 entre 2, que es igual a 17.

En total, se pueden sembrar (17)(17) igual a 289 plantas de maíz.

Realiza dos preguntas con respecto a las situaciones consideradas.

Seleccion a y escrib e a qué situación corresponde cada una de las representaciones geométricas.

La situación 1 se puede representar por el rectángulo de ancho “x” y largo “x+5”. Y a su lado se escribe: “Situación 1”.

La situación 2, el poema, no tiene representación aquí, así que no se escribe.

La situación 3 está representada por la primera figura, el cuadrado con lados x+5. Se escribe: “Situación 3”.

La situación 4 está representada por la segunda figura geométrica, el cuadrado de lado “x”. Se escribe: “Situación 4”.

Ahora res uelve la siguiente pregunta.

Relacion a las columnas correspondientes anotando en el paréntesis que corresponda a la ecuación correcta y su situación 1, 2, 3 o 4.

La primera situación, la del corral, en donde el largo mide 5 metros más que el ancho y su área es de 104 metros cuadrados, corresponde a x(x+5) es igual a 104. Se escribe: “Situación 1”.

La segunda situación, el del poema, donde se multiplican 8 veces el sucesor con el antecesor y es igual a la cantidad desconocida menos 6, corresponde a 8(( 𝑥 + 1)( 𝑥 −1)) igual a 𝑥 −8x(x+5). Se escribe: “Situación 2”.

La tercera situación, la de la plaza cívica, donde se aumentó en 5 metros por lado a la plaza original cuadrada, conociendo que el área final es de 484 metros cuadrados, corresponde a ( 𝑥 + 5)( 𝑥 +5) es igual a 484. Se escribe: “Situación 3”.

La cuarta situación, en donde se busca lo que mide el lado de un terreno cuadrado de área igual a 1 225 metros cuadrados, corresponde a 𝑥 ^2=1225.

E n esta sesión aprendiste la solución de problemas reales aplicando las ecuaciones de segundo grado y resolviéndolas con diferentes procesos de solución.

El r eto de h oy :

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Lee la siguiente apostilla de Albert Einstein.

“¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte admirablemente a los objetos de la realidad?”

¡ Buen trabajo!

Gracias por tu esfuerzo

Para saber más :

Lecturas

https://www.conaliteg.sep.gob.mx/secundaria.html

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